Cho \(x, y, z>0 \text { và } x+y+z=\frac{\pi}{2}\)Tìm giá trị lớn nhất của \(y=\sqrt{1+\tan x \cdot \tan y}+\sqrt{1+\tan y \cdot \tan z}+\sqrt{1+\tan z \cdot \tan x}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(x+y+z=\frac{\pi}{2} \Leftrightarrow x+y=\frac{\pi}{2}-z \Rightarrow \tan (x+y)=\tan \left(\frac{\pi}{2}-z\right) \Leftrightarrow \frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \cdot \tan y}=\frac{1}{\tan z}\)
\(\Leftrightarrow \tan x \cdot \tan z+\tan y \cdot \tan z=1-\tan x \cdot \tan y \Leftrightarrow \tan x \cdot \tan z+\tan y \cdot \tan z+\tan x \cdot \tan y=1\)
Ta thấy \(\tan x \cdot \tan z ; \tan y \cdot \tan z ; \tan x \cdot \tan y\) lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta có:
\(\begin{array}{l} 1 . \sqrt{1+\tan x \cdot \tan y}+1 \sqrt{1+\tan y \cdot \tan z}+1 \cdot \sqrt{1+\tan z \cdot \tan x} \\ \leq \sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{1 \cdot \tan x \cdot \tan z+1 \cdot \tan y \cdot \tan z+1 \cdot \tan x \cdot \tan y} \\ =\sqrt{3} \sqrt{3+(\tan x \cdot \tan z+\tan y \cdot \tan z+\tan x \cdot \tan y)}=2 \sqrt{3} \\ \text { Vây } y_{\max }=2 \sqrt{3} \end{array}\)
