Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\sqrt{1+\frac{1}{2} \cos ^{2} x}+\frac{1}{2} \sqrt{5+2 \sin ^{2} x}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(y=\sqrt{1+\frac{1}{2} \cos ^{2} x}+\frac{1}{2} \sqrt{5+2 \sin ^{2} x} \Leftrightarrow y=\sqrt{1+\frac{1}{2} \cos ^{2} x}+\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{1}{2} \sin ^{2} x}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số \(1 ; 1 ; \sqrt{1+\frac{1}{2} \cos ^{2} x} ; \sqrt{\frac{5}{4}+\frac{1}{2} \sin ^{2} x}\) ta có:
\(\sqrt{1+\frac{1}{2} \cos ^{2} x}+\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{1}{2} \sin ^{2} x} \leq \sqrt{1^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{1+\frac{1}{2} \cos ^{2} x+\frac{5}{4}+\frac{1}{2} \sin ^{2} x}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{1}{2.1}}=\frac{\sqrt{22}}{2}\)
Hay \(y \leq \frac{\sqrt{22}}{2}\). Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\frac{\sqrt{22}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(1+\frac{1}{2} \cos ^{2} x=\frac{5}{4}+\frac{1}{2} \sin ^{2} x \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\)