Tìm tập xác định D của hàm số \(y=\sqrt{5+2 \cot ^{2} x-\sin x}+\cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời
\(5+2 \cot ^{2} x-\sin x \geq 0, \cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right)\) xác định và cot x xác định.
Ta có:
\(\left\{\begin{array}{l} 5+2 \cot ^{2} x-\sin x \geq 0 \\ 1-\sin 2 x \geq 0 \Rightarrow 5-\sin x \geq 0 \end{array} \Rightarrow 5+2 \cot ^{2} x-\sin x \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}\right.\)
\(\cot \left(\frac{\pi}{2}+x\right) \text { xác } \operatorname{định} \Leftrightarrow \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right) \neq 0 \Leftrightarrow \frac{\pi}{2}+x \neq k \pi \Leftrightarrow x \neq-\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbb{Z}\)
\(\cot x \operatorname{xác} \operatorname{định} \Leftrightarrow \sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}\)
Do đó hàm số xác định \(\left\{\begin{array}{l} x \neq-\frac{\pi}{2}+k \pi \\ x \neq k \pi \end{array} \Leftrightarrow x \neq \frac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right.\)
Vậy \(D=\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{k \pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}\)
