Cho số phức z thỏa \(|z+2 i|=|z-1-2 i|\)2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của \(|(1+i) z+2|\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi M(x ;y ) biểu diễn số phức \(\text { c } z=x+y i\)
\(\begin{aligned} &|z+2 i|=|z-1-2 i| \Leftrightarrow|x+(y+2) i|=|x-1+(y-2) i|\\ &\Leftrightarrow 2 x+8 y-1=0 \text { là đường thẳng } d \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text {Ta có }|(1+i) z+2|=|(1+i) z+1+i \quad 1-i|=|1+i \quad z+1-i|=|1+i||z+1-i|=\sqrt{2} A M \text { với }\\ &A(-1 ; 1)\\ &|(1+i) z+2|_{\min } \Leftrightarrow A M_{\min } \Leftrightarrow M \text { là hình chiếu của } A \text { lên đường thẳng } d \text { (xem lý thuyết). Khi đó: }\\ &|(1+i) z+2|_{\min }=\sqrt{2} A M_{\operatorname{trin}}=\sqrt{2} d(A ; d)=\sqrt{2} \cdot \frac{|2 \cdot-1+8 \cdot 1-1|}{\sqrt{2^{2}+8^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{34}} \end{aligned}\)
