Cho số phức z thỏa mãn \(|z| \leq 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=2|z+1|+2|z-1|+|z-\bar{z}-4 i|\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Gọi } z=x+y \mathrm{i},(x, y \in \mathbb{R}) . \text { Theo giả thiết, ta có }|z| \leq 2 \Leftrightarrow x^{2}+y^{2} \leq 4\\ &\text { Suy ra }-2 \leq x, y \leq 2\\ &\text { Khi đó, } P=2|z+1|+2|z-1|+|z-\bar{z}-4 i|=2\left(\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}+|y-2|\right)\\ &\Leftrightarrow P=2\left(\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}+|y-2|\right) \geq 2\left(2 \sqrt{1+y^{2}}+2-y\right)\\ &\text { Dấu }^{\text {“ }}=\text { " xảy ra khi } x=0 \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Xét hàm số } f(y)=2 \sqrt{1+y^{2}}+2-y \text { trên đoạn }[-2 ; 2], \text { ta có: }\\ &f^{\prime}(y)=\frac{2 y}{\sqrt{1+y^{2}}}-1=\frac{2 y-\sqrt{1+y^{2}}}{\sqrt{1+y^{2}}} ; f^{\prime}(y)=0 \Leftrightarrow y=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ &\text { Ta có } f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2+\sqrt{3} ; f(-2)=4+2 \sqrt{5} ; f(2)=2 \sqrt{5}\\ &\text { Suy ra } \min _{[-2 ; 2]} f(y)=2+\sqrt{3} \text { khi } y=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ &\text { Do đó } P \geq 2(2+\sqrt{3})=4+2 \sqrt{3} \text { . Vậy } P_{\min }=4+2 \sqrt{3} \text { khi } z=\frac{1}{\sqrt{3}} \text { i. } \end{aligned}\)
