Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn \(\left|z_{1}-3 i+5\right|=2 \text { và }\left|i z_{2}-1+2 i\right|=4\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left|2 i_{1}+3 z_{2}\right|\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\left|z_{1}-3 i+5\right|=2 \Leftrightarrow\left|2 i z_{1}+6+10 i\right|=4(1)\);
\(\left|i z_{2}-1+2 i\right|=4 \Leftrightarrow\left|\left(-3 z_{2}\right)-6-3 i\right|=12(2)\).
Gọi A là điểm biểu diễn số phức \(2 i z_{1}\) , B là điểm biểu diễn số phức \(-3 z_2\) .
Từ (1) và (2) suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm \(I_{1}(-6 ;-10)\) và bán kính \(R_{1}=4\)4 ; điểm B nằm trên đường tròn tâm \(I_{2}(6 ; 3)\) và bán kính \(R_{2}=12\)
Ta có \(T=\left|2 i z_{1}+3 z_{2}\right|=A B \leq I_{1} I_{2}+R_{1}+R_{2}=\sqrt{12^{2}+13^{2}}+4+12=\sqrt{313}+16\)
Vậy \(\max T=\sqrt{313}+16\)
