Cho số phức z thỏa mãn \(\left( {z – 3 + i} \right)\left( {1 – i} \right) = {\left( {1 + i} \right)^{2019}}\). Khi đó số phức \({\rm{w}} = z + 1 – 2i\) có phần ảo?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left( {z – 3 + i} \right)\left( {1 – i} \right) = {\left( {1 + i} \right)^{2019}} \Leftrightarrow \left( {z – 3 + i} \right)\left( {1 – i} \right)\left( {1 + i} \right) = {\left( {1 + i} \right)^{2020}}\)
\( \Rightarrow z = \frac{{{{\left[ {{{\left( {1 + i} \right)}^2}} \right]}^{1010}}}}{{\left( {1 – i} \right)\left( {1 + i} \right)}} + 3 – i = \frac{{{{\left( {2i} \right)}^{1010}}}}{2} + 3 – i = \frac{{{{\left[ {{{\left( {2i} \right)}^2}} \right]}^{505}}}}{2} + 3 – i = \frac{{{{\left( { – 4} \right)}^{505}}}}{2} + 3 – i = – {2^{1009}} + 3 – i\)
Vậy: \({\rm{w}} = z + 1 – 2i = – {2^{1009}} + 3 – i + 1 – 2i = – {2^{1009}} – 3i + 4\)
Do đó phần ảo của số phức phải tìm là -3 .
