Cho phương trình \(2 \log _{9+4 \sqrt{5}}\left(2 x^{2}-x-4 m^{2}+2 m\right)+\log _{\sqrt{\sqrt{5}-2}} \sqrt{x^{2}+m x-2 m^{2}}=0\) . Tìm tập hợp giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1 \text { . }\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } 2 \log _{9+4 \sqrt{5}}\left(2 x^{2}-x-4 m^{2}+2 m\right)+\log _{\sqrt{\sqrt{5}-2}} \sqrt{x^{2}+m x-2 m^{2}}=0 \\ &\Leftrightarrow 2 \log _{(\sqrt{3}+2)^{2}}\left(2 x^{2}-x-4 m^{2}+2 m\right)+\log _{(\sqrt{5}+2)^{\frac{1}{2}}} \sqrt{x^{2}+m x-2 m^{2}}=0 \\ &\Leftrightarrow \log _{\sqrt{5}+2}\left(2 x^{2}-x-4 m^{2}+2 m\right)=\log _{\sqrt{5}+2}\left(x^{2}+m x-2 m^{2}\right) \\ &\Leftrightarrow 2 x^{2}-x-4 m^{2}+2 m=x^{2}+m x-2 m^{2} \Leftrightarrow x^{2}-(m+1) x-2 m^{2}+2 m=0 . \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt } \Leftrightarrow(m+1)^{2}-4\left(-2 m^{2}+2 m\right)>0\\ &\Leftrightarrow 9 m^{2}-6 m+1>0 \Leftrightarrow(3 m-1)^{2}>0 \Leftrightarrow m \neq \frac{1}{3} . \end{aligned}\)
\( \text { Theo Vi-ét ta có: }\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=m+1 \\ x_{1} \cdot x_{2}=2 m-2 m^{2} \end{array} .\right.\)
\(\begin{aligned} &\text { Theo bài ra ta có: }\\ &x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1 \Leftrightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}>1 \Leftrightarrow(m+1)^{2}-2\left(2 m-2 m^{2}\right)>1 \Leftrightarrow 5 m^{2}-2 m>0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m>\frac{2}{5} \\ m<0 \end{array}\right. \end{aligned}\)
