Cho hypebol \( (H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(b > a > 0)\). Cho k là một số thực dương. Xét các đường thẳng \( ({d_1}):y = kx;({d_2}):y = \frac{{ - 1}}{k}x\)x đều cắt (H) tại 2 điểm phân biệt. Gọi A và C lần lượt là giao điểm của d₁với (H) (A nằm trong góc phần tư thứ nhất). Gọi B và D lần lượt là giao điểm của d₂ với (H) (B nằm trong góc phần tư thứ hai). Tìm k sao cho hình thoi ABCD có diện tích nhỏ nhất.

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 10

Chủ đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài: Ba đường conic

Lời giải:

Báo sai

Giả sử phương trình đường thẳng AC là y=kx

Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y = kx\\ \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = kx\\ \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{k^2}{x^2}}}{{{b^2}}} = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {y^2} = {k^2}{x^2}\\ {x^2}\left( {\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{{{k^2}}}{{{b^2}}}} \right) = 1 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {y^2} = \frac{{{k^2}{a^2}{b^2}}}{{{b^2} - {k^2}{a^2}}}\\ {x^2} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{b^2} - {k^2}{a^2}}} \end{array} \right.\\ \Rightarrow O{A^2} = {x^2} + {y^2} = \frac{{{a^2}{b^2}}}{{{b^2} - {k^2}{a^2}}} + \frac{{{k^2}{a^2}{b^2}}}{{{b^2} - {k^2}{a^2}}} = \frac{{\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}}{{{b^2} - {k^2}{a^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} = \frac{{{b^2} - {k^2}{a^2}}}{{\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}} \end{array}\)Chứng minh tương tự ta được:

\(\begin{array}{l} O{B^2} = \frac{{\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}}{{{k^2}{b^2} - {a^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{{{k^2}{b^2} - {a^2}}}{{\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}}\\ \begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{{{b^2} - {k^2}{a^2}}}{{\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}} + \frac{{{k^2}{b^2} - {a^2}}}{{\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}}}\\ { = \frac{{{b^2}\left( {1 + {k^2}} \right) - {a^2}\left( {1 + {k^2}} \right)}}{{\left( {1 + {k^2}} \right){a^2}{b^2}}} = \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{b^2}}} = const} \end{array} \end{array}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{b^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\mathop \ge \limits^{Cauchy} \frac{2}{{OA.OB}} = \frac{4}{{{S_{ABCD}}}}}\\ { \Leftrightarrow \frac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2}{b^2}}} \ge \frac{4}{{{S_{ABCD}}}} \Leftrightarrow {S_{ABCD}} \ge \frac{{4{a^2}{b^2}}}{{{b^2} - {a^2}}}}\\ { \Rightarrow {S_{ABCD\,Min}} = \frac{{4{a^2}{b^2}}}{{{b^2} - {a^2}}} \Leftrightarrow OA = OB} \end{array}\)

⇔ΔOAB vuông cân tại O

⇒y=kx là tia phân giác của góc phần tư thứ I

⇒k=1

Đáp án cần chọn là: A