Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích là \(V.\) Gọi \(M,N,Q\) lần lượt là trung điểm của AD, DC và B’C’. Thể tích của khối tứ diện QBMN bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Ta có: \({{V}_{QBMN}}=\frac{1}{3}.d\left( Q;\left( BMN \right) \right).{{S}_{BMN}}\left( 1 \right)\) . Rõ ràng ta nhận thấy hình tứ diện QBMN và hình hộp \(ABCDA'B'C'D'\) có chiều cao bằng nhau. Nên ta chỉ đi tìm tỉ lệ \(\frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{ABCD}}}\) .
Ta có \({{S}_{ABCD}}={{S}_{DMN}}+{{S}_{ABM}}+{{S}_{BNC}}+{{S}_{BMN}}\)
\(\Rightarrow {{S}_{BMN}}={{S}_{ABCD}}={{S}_{DMN}}-{{S}_{AMB}}-{{S}_{BNC}}\)
Mặt khác ta có \(\frac{{{S}_{DMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{{{S}_{DMN}}}{2{{S}_{ADC}}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}=\frac{1}{8};\)\(\frac{{{S}_{ABM}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{{{S}_{ABM}}}{2{{S}_{ABD}}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
Tương tự thì \(\frac{{{S}_{BNC}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{4}\) , khi đó \(SBMN=\left( 1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \right){{S}_{ABCD}}\) \(\Leftrightarrow \frac{{{S}_{BMN}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{3}{8}\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{V}_{QBMN}}}{_{ABCD}}=\frac{1}{3}.\frac{3}{8}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow {{V}_{QBMN}}=\frac{V}{8}\)
