Cho hàm số \(y=f(x)=-\frac{\cos x}{3 \sin ^{3} x}+\frac{4}{3} \cot x\). Giá trị đúng của \(f^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} y^{\prime}=f^{\prime}(x)=\left(-\frac{\cos x}{3 \sin ^{3} x}+\frac{4}{3} \cot x\right)^{\prime}=\left(-\cot x \cdot \frac{1}{\sin ^{2} x}+\frac{4}{3} \cot x\right)^{\prime}=\left(-\cot x \cdot\left(1+\cot ^{2} x\right)+\frac{4}{3} \cot x\right)^{\prime} \\ =\left(\cot ^{3} x+\frac{1}{3} \cot x\right)^{\prime}=3 \cot ^{2} x \cdot(\cot x)^{\prime}-\frac{1}{\sin ^{2} x}=-\frac{\cot ^{2} x}{\sin ^{2} x}-\frac{1}{\sin ^{2} x} \end{array}\)
\(\text { Suy ra } f^{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\cot ^{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)}-\frac{1}{\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{3}\right)}=-\frac{9}{8}\)