Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\tan x - 1}}{{\tan x + 1}}\). Xét hai mệnh đề:
(I) \(f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^2}}}\)
(II) \(f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1\)
Mệnh đề nào đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = \frac{{{{\left( {\tan x - 1} \right)}^\prime }\left( {\tan x + 1} \right) - \left( {\tan x - 1} \right){{\left( {\tan x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^2}}}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)\left( {\tan x + 1} \right) - \left( {\tan x - 1} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^2}}}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)\left[ {\tan x + 1 - \tan x + 1} \right]}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan x} \right)}^2}}} \end{array}\)
\(f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2\left( {1 + {{\tan }^2}\frac{\pi }{4}} \right)}}{{{{\left( {1 + \tan \frac{\pi }{4}} \right)}^2}}} = \frac{{2\left( {1 + 1} \right)}}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = 1\)
