Cho hàm số \(\begin{equation} f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sqrt{3 x+1}-2 x}{x-1} & \text { khi } x \neq 1 \\ \frac{-5}{4} & \text { khi } x=1 \end{array}\right. \text { . Tính } f^{\prime}(1) . \end{equation}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{equation} \begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3 x+1}-2 x}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x+1-4 x^{2}}{(x-1)(\sqrt{3 x+1}+2 x)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-4 x-1}{(\sqrt{3 x+1}+2 x)}=\frac{-5}{4}=f(1)\\ &\Rightarrow \text { Hàm số liên tục lại } x=1 \text { . }\\ &\begin{aligned} f^{\prime}(1) &=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\frac{\sqrt{3 x+1}-2 x}{x-1}+\frac{5}{4}}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{4 \sqrt{3 x+1}-3 x-5}{4(x-1)^{2}} \\ &=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{16(3 x+1)-(3 x+5)^{2}}{4(x-1)^{2}(4 \sqrt{3 x+1}+3 x+5)}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-9}{4(4 \sqrt{3 x+1}+3 x+5)}=-\frac{9}{64} \end{aligned} \end{aligned} \end{equation}\)
