Cho hàm số \(\begin{equation}
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
a x^{2}+b x+1, x \geq 0 \\
a x-b-1, x<0
\end{array}\right.
\end{equation}\). Khi hàm sốf(x) có đạo hàm tại \(\begin{equation}
x_{0}=0 \text { . Hãy tính } T=a+2 b \text { . }
\end{equation}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{equation} \begin{array}{l} \lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}}\left(a x^{2}+b x+1\right)=1 \\ \lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}}(a x-b-1)=-b-1 . \end{array} \end{equation}\)
Để hàm số có đạo hàm tại \(\begin{equation} x_{0}=0 \end{equation}\) thì hàm số phải liên tục tại \(\begin{equation} x_{0}=0 \end{equation}\) nên
\(\begin{equation} \begin{array}{l} f(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x) . \text { Suy ra }-b-1=1 \Leftrightarrow b=-2 . \\ \text { Khi đó } f(x)=\left\{\begin{array}{l} a x^{2}-2 x+1, x \geq 0 \\ a x+1, x<0 \end{array}\right. \end{array} \end{equation}\)
Xét
\(\begin{equation} \begin{array}{l} \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{a x^{2}-2 x+1-1}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}(a x-2)=-2 . \\ \lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{a x+1-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}(a)=a \end{array} \end{equation}\)
Hàm số có đạo hàm tại \(\begin{equation} x_{0}=0 \text { thì } a=-2 \end{equation}\)
Khi đó T=-6.
