Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên thỏa mãn \(\left| {f\left( {x + h} \right) – f\left( {x – h} \right)} \right| \le {h^2}\) với mọi , h > 0. Đặt \(g\left( x \right) = {\left[ {x + f’\left( x \right)} \right]^{2019}} + {\left[ {x + f’\left( x \right)} \right]^{29 – m}} – \left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right).{\sin ^2}x – 1\) với tham số m. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m < 27 sao cho \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại x = 0. Tổng bình phương các phần tử của S là

Với mọi và h > 0, ta có

\(\left| {f\left( {x + h} \right) – f\left( {x – h} \right)} \right| \le {h^2} \Leftrightarrow \frac{{\left| {f\left( {x + h} \right) – f\left( x \right) + f\left( x \right) – f\left( {x – h} \right)} \right|}}{h} \le h\)

\(\left| {\frac{{f\left( {x + h} \right) – f\left( x \right)}}{h} + \frac{{f\left( {x – h} \right) – f\left( x \right)}}{{ – h}}} \right| \le h\).

Cho \(h \to 0\), ta được \(f’\left( x \right) = 0\). Khi đó \(g\left( x \right) = {x^{2019}} + {x^{29 – m}} – \left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right).{\sin ^2}x – 1\)

\(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + \left( {29 – m} \right){x^{28 – m}} – \left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right)\sin 2x \Rightarrow g’\left( 0 \right) = 0\)

Xét \(g”\left( x \right) = 2019.2018{x^{2017}} + \left( {29 – m} \right)\left( {28 – m} \right){x^{27 – m}} – 2\left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right)\cos 2x\)

\( \Rightarrow g”\left( 0 \right) = – 2\left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right)\)

*) Nếu \(g”\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^4} – 29{m^2} + 100 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \pm 5\\m = \pm 2\end{array} \right.\)

+ Nếu m = 5 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 24{x^{23}} = {x^{23}}\left( {2019{x^{1995}} + 24} \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 nên thỏa mãn yêu cầu.

+ Nếu m = – 5 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 34{x^{33}} = {x^{33}}\left( {2019{x^{1985}} + 34} \right)\) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x = 0 nên thỏa mãn yêu cầu.

+ Nếu m = 2 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 27{x^{26}} = {x^{26}}\left( {2019{x^{1992}} + 27} \right)\) không đổi dấu khi qua x = 0 nên loại.

+ Nếu m = – 2 thì \(g’\left( x \right) = 2019{x^{2018}} + 31{x^{30}} = {x^{30}}\left( {2019{x^{1988}} + 31} \right)\) không đổi dấu khi qua x = 0 nên loại.

*) Nếu \(g”\left( x \right) \ne 0\) thì \(g\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow g”\left( 0 \right) > 0 \Leftrightarrow – 2\left( {{m^4} – 29{m^2} + 100} \right) > 0\)

\(\Leftrightarrow {m^4} – 29{m^2} + 100 < 0 \Leftrightarrow 4 < {m^2} < 25\). Vì m nguyên nên \(m \in \left\{ { – 4; – 3;3;4} \right\}\)

Vậy \(S = \left\{ { – 5; – 4; – 3;3;4;5} \right\}\). Do đó tổng bình phương các phần tử của S bằng 100.