Cho hàm số chẵn y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R} \text { và } \int_{-1}^{1} \frac{f(2 x)}{1+5^{x}} \mathrm{~d} x=8\) . Giá trị của \(\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { +) Ta có } 8=\int_{-1}^{1} \frac{f(2 x)}{1+5^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{-1}^{0} \frac{f(2 x)}{1+5^{x}} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{1} \frac{f(2 x)}{1+5^{x}} \mathrm{~d} x\\ &\text { Xét } I=\int_{-1}^{0} \frac{f(2 x)}{1+5^{x}} \mathrm{~d} x:\\ &\text { Đặt } t=-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x \text { . Đồi cận: } x=-1 \Rightarrow t=1 \text { và } x=0 \Rightarrow t=0 \\ &\text { Khi đó }I=\int_{1}^{0} \frac{f(-2 t)}{1+5^{-t}}(-\mathrm{d} t)=\int_{0}^{1} \frac{f(-2 t)}{1+5^{-t}} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{1} \frac{5^{t} f(-2 t)}{5^{t}+1} \mathrm{~d} t\\ &\text { Vì } y=f(x) \text { là hàm chẵn trên } \mathbb{R} \text { nên } f(-2 t)=f(2 t), \forall t \in \mathbb{R} \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Do đó } I=\int_{0}^{1} \frac{5^{t} f(2 t)}{5^{t}+1} \mathrm{~d} t=\int_{0}^{1} \frac{5^{x} f(2 x)}{5^{x}+1} \mathrm{~d} x . \text { Thay vào }\\ &\text { (1) thu được }\\ &8=\int_{0}^{1} \frac{5^{x} f(2 x)}{5^{x}+1} \mathrm{~d} x+\int_{0}^{1} \frac{f(2 x)}{1+5^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} \frac{\left(5^{x}+1\right) f(2 x)}{5^{x}+1} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x\\ &\Rightarrow \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d}(2 x)=8 \Rightarrow \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t=16 \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=\tan x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x=0, x=a \text { với } a \in\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\) Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng này xung quanh trục
-
Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x), số thực k ∈ R là các hàm số khả tích trên [a;b] ⊂ R và c ∈ [a;b]. Khi đó biểu thức nào sau đây là biểu thức sai.
-
Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R} ; f^{\prime}(x)=-e^{x} \cdot f^{2}(x), \forall x \in \mathbb{R} \text { và } f(0)=\frac{1}{2}\) . Tính giá trị của \(f(\ln 2)\)?
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\int_{0}^{1}(x+1) f^{\prime}(x) d x=10 \text { và } 2 f(1)-f(0)=2 . \text { Tính } I=\int_{0}^{1} f(x) d x\)
-
Xét hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f(x)=a \sin x+b \cos x(\text { vói } a, b\) là các hằng số thực dương), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x=\pi\) . Nếu vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) quanh trục Ox có thể tích bằng\(\frac{5 \pi^{2}}{2} \text { và } f^{\prime}(0)=2 \text { thì } 2 a+5 b\) bằng:
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^2} - x + 3\) và y = 2x + 1 là:
-
Tích phân \(I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{x+1}{x^{2}} d x\) có giá trị là
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x2, trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 3 là:
-
\(\text { Tích phân } \int_{-1}^{1} x^{2020} d x \text { bằng }\)
-
Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-2 ; 1\}\) thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+x-2} ; f(-3)-f(3)=0 \text { và } f(0)=\frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f(-4)+f(-1)-f(4)\) bằng ?
-
Tính tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiGacogacaGGVbGaai4CaiaadIhacaaMc8Ua % aeizaiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaaik % daaaaaniabgUIiYdaaaa!45B0! I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} \)
-
Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường\(y=\ln (x+1)\) , trục hoành và đường thẳng x=e-1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) quanh trục Ox
-
Tính tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiaac6caciGGJbGaai4BaiaacohacaWG4bGa % aeizaiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaaik % daaaaaniabgUIiYdaaaa!44D6! I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x.\cos x{\rm{d}}x} \)
-
Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox; đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, đường thẳng \(x = \frac{{\rm{\pi }}}{2},\;x = {\rm{\pi }}\)
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là:
-
Tính tích phân sau: \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\sin ^5}xdx\)
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ . Biết \(f\left(x^{3}+2 x-2\right)=3 x-1\) . Giá trị của \(I=\int\limits_{1}^{10} f(x) d x\) là:
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn f(0) = 3 và \(f(x) + f(2 – x) = {x^2} – 2x + 2,\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'(x){\rm{d}}x} \) bằng
-
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b] \text { và } c \in[a ; b]\) . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
-
Tính tích phân sau: \(A = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \frac{{xdx}}{{{{\cos }^2}x}}\)
