Cho hai số thực a,b lớn hơn 1 thay đổi thỏa mãn \(a+b=10\). Gọi m,n là hai nghiệm của phương trình \(\left( {{\log }_{a}}x \right)\left( {{\log }_{b}}x \right)-2{{\log }_{a}}x-3{{\log }_{b}}x-1=0\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S=mn\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình tương đương với
\(\left( {{\log }_{a}}x \right)\left( {{\log }_{b}}a.{{\log }_{a}}x \right)-\left( 2+3{{\log }_{b}}a \right){{\log }_{a}}x-1=0\).
Theo Vi-ét ta có
\({{\log }_{a}}m+{{\log }_{a}}n=\frac{\left( 2+{{\log }_{b}}a \right)}{{{\log }_{b}}a}=2{{\log }_{a}}b+2={{\log }_{a}}\left( {{a}^{3}}{{b}^{2}} \right)\Leftrightarrow mn={{a}^{3}}{{b}^{2}}\).
Khi đó ta có \(S=f\left( a \right)={{a}^{3}}{{\left( 10-a \right)}^{2}}\le \underset{\left( 1;9 \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( a \right)=f\left( 6 \right)=3456\).
