Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn \( {\log _5}\left( {\frac{{4a + 2b + 5}}{{a + b}}} \right) = a + 3b - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T=a^2+b^2\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} {\log _5}\left( {\frac{{4a + 2b + 5}}{{a + b}}} \right) = a + 3b - 4 \Leftrightarrow {\log _5}\left( {\frac{{4a + 2b + 5}}{{5a + 5b}}} \right) = a + 3b - 5\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {4a + 2b + 5} \right) - {\log _5}\left( {5a + 5b} \right) = a + 3b - 5\\ \Leftrightarrow {\log _5}\left( {4a + 2b + 5} \right) + 4a + 2b + 5 = {\log _5}\left( {5a + 5b} \right) + 5a + 5b \end{array}\) (1)
Xét hàm số
\( f\left( t \right) = {\log _5}t + t,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {t > 0} \right) \to f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 5}} + 1 > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall t > 0\)
⇒ Hàm số f(t) đồng biến trên (0;+∞)
\( \left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {4a + 2b + 5} \right) = f\left( {5a + 5b} \right){\mkern 1mu} \Leftrightarrow 4a + 2b + 5 = 5a + 5b \Leftrightarrow a + 3b = 5\)
Với a,b>0,a+3b=5 ta có:
\( T = {a^2} + {b^2} = \frac{1}{{10}}.\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{1^2} + {3^2}} \right) \ge \frac{1}{{10}}.{\left( {a.1 + b.3} \right)^2} = \frac{1}{{10}}{.5^2} = \frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow {T_{\min }} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a,b > 0\\ a + 3b = 5\\ \frac{a}{1} = \frac{b}{3} \end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{2}\\ b = \frac{3}{2} \end{array} \right.\)
