Số nghiệm của phương trình \(\displaystyle {x^{3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x}} = 100\sqrt[3]{{10}}\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐK: \(\displaystyle x > 0\).
Lấy logarit thập phân hai vế của phương trình đã cho, ta được:
\(\begin{array}{l}
\log \left[ {{x^{3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x}}} \right] = \log \left( {100\sqrt[3]{{10}}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x} \right)\log x = \log \left( {{{10}^2}{{.10}^{\frac{1}{3}}}} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {3{{\log }^3}x - \frac{2}{3}\log x} \right)\log x = \log {10^{\frac{7}{3}}}
\end{array}\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow (3{\log ^3}x - \frac{2}{3}\log x).\log x = \frac{7}{3}\)
\( \Leftrightarrow 3{\log ^4}x - \frac{2}{3}{\log ^2}x - \frac{7}{3} = 0\)
Đặt \(\displaystyle t = \log x\), ta được phương trình \(\displaystyle 3{t^4} - \frac{2}{3}{t^2} - \frac{7}{3} = 0\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow 9{t^4} - 2{t^2} - 7 = 0\)\(\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} = 1\\{t^2} = - \frac{7}{9}(l)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\log x = 1\\\log x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 10\\x = \frac{1}{{10}}\end{array} \right.\).
