Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn \(z_{1}|=| z_{2}|=1,| z_{1}+z_{2} \mid=\sqrt{3}\). Tính \(\left|z_{1}-z_{2}\right|\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z_{1}=a_{1}+b_{1} i ; z_{2}=a_{2}+b_{2} i\)
Theo giả thiết \(\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=1 \Leftrightarrow a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=a_{2}^{2}+b_{2}^{2}=1\)
\(\begin{array}{l} \text { Ta có }\left|z_{1}+z_{2}\right|=\sqrt{3} \Leftrightarrow\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}+\left(b_{1}+b_{2}\right)^{2}=3 \\ \Leftrightarrow a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+2\left(a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}\right)=3 \end{array}\)
\(\Leftrightarrow a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}=\frac{1}{2}\)
Khi đó\(\left|z_{1}-z_{2}\right|=\left|\left(a_{1}-a_{2}\right)+\left(b_{1}-b_{2}\right) i\right|=\sqrt{\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}+\left(b_{1}-b_{2}\right)^{2}}\)
\(=\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{2}^{2}-2\left(a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}\right)}=\sqrt{2-2 \cdot \frac{1}{2}}=1\)
