Cho các số phức z, w thỏa mãn | z + 2 - 2i | = |z - 4i | và w = iz + 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = | w | là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt z=x+yi(x;y∈R).
Ta có
\(\begin{array}{l} \left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right| \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} \left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right| \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} \Rightarrow y = 2 - x. \end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l} w = iz + 1 = i\left( {x + yi} \right) + 1 = ix - y + 1 = ix - \left( {2 - x} \right) + 1 = \left( {x - 1} \right) + xi.\\ \to \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2}} = \sqrt {2{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{1}{2}} \ge \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \( x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2} \Rightarrow z = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\)
Câu hỏi liên quan
-
Xét các số phức (z, w ) thỏa mãn | z | = 2, | iw - 2 + 5i | = 1. Giá trị nhỏ nhất của | z2 - wz - 4 | bằng:
-
Tìm phần ảo của số phức z, biết (1+i)z = 3-i
-
Số phức z thỏa mãn: \(z-(2+3 i) \bar{z}=1-9 i\) là
-
Số phức z = 3 - 4i có phần ảo bằng
-
Cho hai số phức \(z_1 = 1+ 2i,\,z_2 = 2 - 3i\) . Phần ảo của số phức \( w = 3z_1 - 2z_2 \) là
-
Điểm M trong hình vẽ trên là điểm biểu diễn cho số phức z. Phần ảo của số phức \((1+i)z\) bằng?
-
Trong mặt phẳng Oxy, cho \(z_{1}=1-i, z_{2}=3+2 i\) , gọi các điểm M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức \(z_{1}, z_{2}\) , gọi G là trọng tâm của tam giác OMN, với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
-
Cho hai số phức
\(z_{1}=3-2 i, z_{2}=-2+i\). Tìm mô đun của số phức \(z_{1}+z_{2}\) -
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i . Tìm điều kiện giữa a; b; a’; b’ để z + z’ là một số thuần ảo.
-
Xét số phức z thỏa mãn \(2|z-1|+3|z-i| \leq 2 \sqrt{2}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(z(1+i)+12 i=3\). Tìm phần ảo của số phức \(\overline z\)
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\bar{z}=\frac{(1-\sqrt{3} i)^{3}}{1-i}\) . Tìm môđun của \(z-i \overline{. z}\)
-
Cho số phức z thỏa mãn \((1-3 i) z+1+i=-z\) . Môđun của số phức \(w=13 z+2 i\) có giá trị là
-
Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(|z - i| = |(1+ i ) z|\)là một đường tròn, đường tròn đó có phương trình là
-
Trong mặt phẳng phức, tìm điểm M biểu diễn số phức \(z=\frac{i^{2017}}{3+4 i}\)
-
Cho số phức z = x+yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn \(\left| {\frac{{z - 3}}{{z - 1 + 2i}}} \right| = 1\) và biểu thức \(P = \left| {{z^2} - {z^{ - 2}}} \right| + i\left( {{z^2} - {z^{ - 2}}} \right)\left[ {z\left( {1 - i} \right) + \bar z\left( {1 + i} \right)} \right]\). Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P lần lượt là:
-
Số phức (z ) là số thực nếu:
-
Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 2i và B là điểm biểu diễn của số phức w = 2 + 3i. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của các số phức \(z=3+b i\)với \(b\in\mathbb{R}\) luôn nằm trên đường có phương trình nào trong các phương trình sau?
-
Cho hai số phức \(z_{1}=1+2 i \text { và } z_{2}=2-3 i\) . Phần ảo của số phức \(w=3 z_{1}-2 z_{2}\) là
