Cho các số phức z, w thỏa mãn | z + 2 - 2i | = |z - 4i | và w = iz + 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = | w | là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt z=x+yi(x;y∈R).
Ta có
\(\begin{array}{l} \left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right| \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} \left| {z + 2 - 2i} \right| = \left| {z - 4i} \right| \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y - 4} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} \Rightarrow y = 2 - x. \end{array}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l} w = iz + 1 = i\left( {x + yi} \right) + 1 = ix - y + 1 = ix - \left( {2 - x} \right) + 1 = \left( {x - 1} \right) + xi.\\ \to \left| w \right| = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {x^2}} = \sqrt {2{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{1}{2}} \ge \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \( x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2} \Rightarrow z = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i\)
