Cho hai mặt phẳng \((\alpha)\): x + 5y + z - 10 = 0 và \((\beta)\): 2x + y - z + 1 = 0 . Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của \((\alpha)\) và \((\beta)\), qua điểm M(3;-2;1) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐưa phương trình \((\alpha)\) về dạng tổng quát .
Phương trình tham số của \((\alpha)\) cho biết \(A\left( { - 1,2,1} \right) \in \left( \alpha \right)\) và cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a = \left( {2, - 1,3} \right);\overrightarrow b = \left( { - 3,1, - 2} \right)\).
\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1, - 5, - 1} \right)\).
Chọn \(\overrightarrow n = \left( {1,5,1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến cho \((\alpha)\) thì phương trình tổng quát của \((\alpha)\) có dạng
x + 5y + z + D = 0.
\(A \in \left( \alpha \right) \Leftrightarrow - 1 + 5.2 + 1 + D = 0 \Leftrightarrow D = - 10\)
Phương trình \((\alpha)\): x + 5y + z - 10 = 0
Xét chùm mặt phẳng : \(m\left( {x + 5y + z - 10} \right) + \left( {2x + y - z + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right)x + \left( {5m + 1} \right)y + \left( {m - 1} \right)z - 10m + 1 = 0\left( * \right)\)
Điểm \(M \in \left( P \right) \Leftrightarrow \left( {m + 2} \right).3 + \left( {5m + 1} \right).\left( { - 2} \right) + m - 1 - 10m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4}\)
Thế vào \(\left( * \right):\left( {\frac{1}{4} + 2} \right)x + \left( {\frac{5}{4} + 1} \right)y + \left( {\frac{1}{4} - 1} \right)z - \frac{{10}}{4} + 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow 9x + 9y - 3z - 6 = 0 \Leftrightarrow 3x + 3y - z - 2 = 0\)
