Cho đồ thị ( C ): \(y = x^3- 3x^2 - 9x + 10\) và điểm A( (m;- 10 ). Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của m để có đúng 2 tiếp tuyến của ( C ) qua A. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng

Gọi d là đường thẳng qua A(m;−10) có hệ số góc k.

Suy ra \( d:y=k(x−m)−10\)

d là tiếp tuyến của C)khi hệ phương trình sau có nghiệm

\(\left\{ \begin{array}{l} {x^3} - 3{x^2} - 9x + 10 = k(x - m) - 10(1)\\ 3{x^2} - 6x - 9 = k \end{array} \right.\)

Thế k vào (1), ta được

\( 2{x^3} - \left( {3m + 3} \right){x^2} + 6mx + 9m - 20 = 0 (*)\)

Để có đúng 2 tiếp tuyến của (C) qua A thì phương trình (*) có 2 nghiệm.

Phương trình (∗) có hai nghiệm phân biệt ⇔ (∗) có thể đưa được về dạng \( 2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right) = 0\) với a≠b

Ta có:

\(\begin{array}{l} 2{x^3} - \left( {3m + 3} \right){x^2} + 6mx + 9m - 20 = 2{\left( {x - a} \right)^2}\left( {x - b} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - \left( {3m + 3} \right){x^2} + 6mx + 9m - 20 = 2{x^3} - 2\left( {2a + b} \right){x^2} + 2\left( {{a^2} + 2ab} \right)x - 2{a^2}b\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - (3m + 3) = - 2(2a + b)(1)\\ 6m = 2({a^2} + 2ab)(2)\\ 9m - 20 = - 2{a^2}b(3) \end{array} \right. \end{array}\)

Từ \(\left( 2 \right) \Rightarrow 3m = {a^2} + 2ab = a\left( {a + 2b} \right)\) thay vào (1) được:

\(\begin{array}{l} - \left( {{a^2} + 2ab} \right) - 3 = - 4a - 2b \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 3 + 2ab - 2b = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {a - 3} \right) + 2b\left( {a - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow (a - 1)(a + 2b - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ a + 2b = 3 \end{array} \right. \end{array}\)

+) Với a=1 thì 3m=1+2b thay vào (3) ta được

\( 3\left( {1 + 2b} \right) - 20 = - 2b \Leftrightarrow b = \frac{{17}}{8}\)

Suy ra \( m = \frac{{1 + 2b}}{3} = \frac{7}{4}\)

+) Với \( a+2b=3\) thì\( 3m=3a⇔m=a\) thay vào (1),(3) ta được:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} - 3a - 3 = - 4a - 2\\ b9a - 20 = - 2{a^2}b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3 - 2b\\ 9(3 - 2b) - 20 = - 2{(3 - 2b)^2}.b \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3 - 2b\\ 8{b^3} - 24{b^2} + 7 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 3 - 2b\\ b = - \frac{1}{2},b = \frac{{7 \pm \sqrt {21} }}{4} \end{array} \right.\\ \to \left[ \begin{array}{l} a = 4\\ a = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {21} }}{2} \end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l} m = 4\\ m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {21} }}{2} \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập hợp các giá trị của m thỏa mãn là \( S = \left\{ {\frac{7}{4};4;\frac{{ - 1 \pm \sqrt {21} }}{2}} \right\}\)

\( \to T = \frac{7}{4} + {\mkern 1mu} 4 + {\mkern 1mu} \frac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2} + \frac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2} = \frac{{19}}{4}\)