Cho dãy số xác định bởi:
\(u_{n}=\frac{1}{2 \sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}+\frac{1}{4 \sqrt{3}+3 \sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{(n+1) \sqrt{n}+n \sqrt{n+1}}\)
Số hạng thứ n trong dãy số có giá trị là \(\frac{9}{10} .\)Tìm n?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\forall k \in \mathbb{N}^{*} \text { ta có } \frac{1}{(k+1) \sqrt{k}+k \sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k} \sqrt{k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}=\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k} \sqrt{k+1}} \\ &\Rightarrow \frac{1}{(k+1) \sqrt{k}+k \sqrt{k+1}}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}} \\ &\text { Khi } k=1 \Rightarrow \frac{1}{2+\sqrt{2}}=\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}} \\ &\text { Khi } k=2 \Rightarrow \frac{1}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}} \\ &\text { Khi } k=3 \Rightarrow \frac{1}{4 \sqrt{3}+3 \sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}} \\ &\ldots & \ldots \\ &\text { Khi } k=n \Rightarrow \frac{1}{(n+1) \sqrt{n}+n \sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{aligned}\)
Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được
\(u_{n}=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \Rightarrow u_{n}=\frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}}\)
Theo đề bài ta có
\(\begin{aligned} &\frac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n+1}}=\frac{9}{10} \\ &\Leftrightarrow 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{9}{10} \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{1}{10} \\ &\Leftrightarrow n=99 \end{aligned}\)
