Cho dãy số (un) xác định bởi \(\left\{\begin{array}{l} u_{1}=1.2 .3 \\ u_{2}=2.3 .4 \\ u_{n}=n(n+1)(n+2) \end{array}\right.\). Tổng n số hạng đầu của dãy \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\) có giá trị là 245520. Tìm n.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &S_{1}=a_{1}=1.2 .3\\ &S_{2}=a_{1}+a_{2}=1.2 .3+2.3 .4=2.3 .5\\ &S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=2.3 .5+3.4 .5=3.5 .6\\ &\Rightarrow S_{1}=\frac{1}{4} \cdot 1.2 .3 .4, \quad S_{2}=\frac{1}{4} \cdot 2.3 .4 .5, \quad S_{3}=\frac{1}{4} \cdot 3.4 .5 .6\\ &\text { Nhận thấy quy luật nên giả sử } S_{k}=\frac{1}{4} \cdot k .(k+1)(k+2)(k+3), k \geq 3 \text { (giả thiết quy nạp) } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta sẽ chứng minh } S_{k+1}=\frac{1}{4} \cdot(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)\\ &\text { Thật vậy, theo đề bài } \Rightarrow S_{k+1}=S_{k}+a_{k+1}=S_{k}+(k+1)(k+2)(k+3) \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Theo giả thiết quy nạp } \Rightarrow S_{k+1}=\frac{1}{4} \cdot k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)\\ &\Rightarrow S_{k+1}=\frac{1}{4}(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) \end{aligned}\)
\(\text { Theo nguyên tắc quy nạp suy ra } S_{n}=\frac{1}{4} \cdot n(n+1)(n+2)(n+3)\)
Theo đề bài ta có phương trình
\(\begin{aligned} &24552=\frac{1}{4} \cdot n(n+1)(n+2)(n+3) \\ &\Leftrightarrow 982080=n(n+1)(n+2)(n+3) \\ &\Leftrightarrow 982080=\left(n^{2}+3 n\right)\left(n^{2}+3 n+2\right) \end{aligned}\)
Đặt \(t=n^{2}+3 n(t>0)\)
Khi đó ta có
\(t(t+2)=982080 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=990 \\ t=-992(l) \end{array} \Leftrightarrow n^{2}+3 n=990 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} n=30 \\ n=-33(l) \end{array}\right.\right.\)
Vậy số hạng cần tìm là 30.
