Cho dãy số (un) xác định bởi:\(\left\{\begin{array}{l} u_{1}=1.2 .3 \\ u_{2}=2.3 .4 \\ u_{u}=n(n+1)(n+2) \end{array}\right.\). Đặt \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}\). Giá trị của S30 là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &S_{1}=a_{1}=1.2 .3\\ &S_{2}=a_{1}+a_{2}=1.2 .3+2.3 .4=2.3 .5\\ &S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=2.3 .5+3.4 .5=3.5 .6\\ &\Rightarrow S_{1}=\frac{1}{4} \cdot 1.2 .3 .4, \quad S_{2}=\frac{1}{4} \cdot 2.3 .4 .5, \quad S_{3}=\frac{1}{4} \cdot 3.4 .5 .6\\ &\text { Nhận thấy quy luật nên giả sử } S_{k}=\frac{1}{4} . k .(k+1)(k+2)(k+3), k \geq 3 \text { (giả thiết quy nạp) } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Ta sẽ chứng minh } S_{k+1}=\frac{1}{4} .(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)\\ &\text { Thật vậy, theo đề bài } \Rightarrow S_{k+1}=S_{k}+a_{k+1}=S_{k}+(k+1)(k+2)(k+3)\\ &\text { Theo giả thiết quy nạp } \Rightarrow S_{k+1}=\frac{1}{4} \cdot k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)\\ &\Rightarrow S_{k+1}=\frac{1}{4}(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) \end{aligned}\)
\(\text { Theo nguyên tắc quy nạp suy ra } S_{n}=\frac{1}{4} \cdot n(n+1)(n+2)(n+3) \Rightarrow S_{30}=245520 \)
