Cho dãy số xác định bởi:\(\left\{\begin{array}{l} u_{1}=1 \\ u_{n+1}=u_{n}+n^{3} \end{array} \quad \forall n \geq 1\right.\). Số hạng thứ 17 trong dãy số có giá trị là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có: } u_{n+1}=u_{n}+n^{3} \Rightarrow u_{n+1}-u_{n}=n^{3} \text { . }\)
\(\begin{aligned} &u_{1}=1\\ &u_{2}-u_{1}=1^{3}\\ &u_{3}-u_{2}=2^{3}\\ &u_{4}-u_{3}=3^{3}\\ &\ldots \ldots \ldots \ldots\\ &u_{n-1}-u_{n-2}=(n-2)^{3}\\ &u_{n}-u_{n-1}=(n-1)^{3} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Cộng từng vế của } n \text { đẳng thức trên: }\\ &u_{1}+u_{2}-u_{1}+u_{3}-u_{2}+\ldots+u_{n-1}-u_{n-2}+u_{n}-u_{n-1}=1+1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+(n-2)^{3}+(n-1)^{3}\\ &\Leftrightarrow u_{n}=1+1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+(n-2)^{3}+(n-1)^{3} . \end{aligned}\)
\(\text { Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: } 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+(n-1)^{3}=\frac{(n-1)^{2} \cdot n^{2}}{4}\)
\(\text { Vậy } u_{n}=1+\frac{n^{2}(n-1)^{2}}{4} \Rightarrow u_{17}=1+\frac{32^{2} \cdot 31^{2}}{4}=18497\)
