Cho dãy số xác định bởi \(u_{n}=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots+\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}\). Số hạng thứ mấy trong dãy số có giá trị là \(\frac{100}{201} .\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\forall k \in \mathbb{N}^{*} \text { ta có } \frac{1}{(2 k-1)(2 k+1)}=\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 k+1)-(2 k-1)}{(2 k-1)(2 k+1)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2 k-1}-\frac{1}{2 k+1}\right] \\ &\text { Khi } k=1 \Rightarrow \frac{1}{1.3}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right] \\ &\text { Khi } k=2 \Rightarrow \frac{1}{3.5}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right] \\ &\text { Khi } k=3 \Rightarrow \frac{1}{5.7}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right] \\ &\ldots \quad \ldots \\ &\text { Khi } k=n \Rightarrow \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{2 n+1}\right] \end{aligned}\)
Cộng n đẳng thức trên theo vế và giản ước ta được
\(u_{n}=\frac{1}{2}\left[1-\frac{1}{2 n+1}\right] \Rightarrow u_{n}=\frac{n}{2 n+1}\)
Theo đề bài ta có
\(\begin{aligned} &u_{n}=\frac{n}{2 n+1} \\ &\Leftrightarrow \frac{100}{201}=\frac{n}{2 n+1} \\ &\Leftrightarrow n=100 \end{aligned}\)
Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 100.
