Cho dãy số xác định bởi:\(\left\{\begin{array}{l} u_{1}=1 \\ u_{2}=2 \\ u_{n+1}=2 u_{n}-u_{n-1}+1 ; n \geq 2 \end{array}\right.\). Số hạng thứ 5525 trong dãy số có giá trị là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{aligned} &u_{1}=1 \\ &u_{2}=2 \\ &u_{3}=2 u_{2}-u_{1}+1 \\ &u_{4}=2 u_{3}-u_{2}+1 \\ &\cdots \quad \cdots \\ &u_{n}=2 u_{n-1}-u_{n-2}+1 \end{aligned}\)
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
\(\begin{aligned} &u_{1}+u_{n}=u_{n-1}+2+n-1 \\ &\Rightarrow u_{n}=u_{n-1}+n\left(^{*}\right) \end{aligned}\)
Từ đề bài và (*) ta lại suy ra
\(\begin{aligned} &u_{1}=1 \\ &u_{2}=u_{1}+1 \\ &u_{3}=u_{2}+2 \\ &u_{4}=u_{3}+3 \\ &\cdots \quad \cdots \\ &u_{n}=u_{n-1}+n-1 \end{aligned}\)
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
\(\begin{aligned} &u_{n}=1+1+2+3+\ldots+(n-1)=1+\frac{(n-1) n}{2}=\frac{1}{2}\left(n^{2}-n+2\right) \\ &u_{n}=\frac{1}{2}\left(n^{2}-n+2\right) \Rightarrow u_{5525}=\frac{1}{2}\left(5525^{2}-5523\right) \end{aligned}\)
