Cho dãy số xác định bởi:\(\left\{\begin{array}{l} u_{1}=1 \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{1+u_{n}} ; n \geq 1 . \end{array}\right.\). Số hạng thứ 100 trong dãy số có giá trị là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{aligned} &u_{2}=\frac{u_{1}}{1+u_{1}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} . \quad u_{3}=\frac{u_{2}}{1+u_{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3} . \\ &u_{4}=\frac{u_{3}}{1+u_{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4} \cdot u_{5}=\frac{u_{4}}{1+u_{4}}=\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{5} . \end{aligned}\)
\(\text { Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát } u_{n} \text { có dạng: } u_{n}=\frac{1}{n}, \forall n \geq 1 .(*)\)
\(\text { Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh công thức }(*)\)
\(\text { Đã có: }(*) \text { đúng với } n=1\)
\(\text { Giả sử }(*) \text { đúng khi } n=k \text { . Nghĩa là ta có: } u_{k}=\frac{1}{k}\)
\(\text { Ta chứng minh }(*) \text { đúng khi } n=k+1 \text { . Nghĩa là ta phải chứng minh: } u_{k+1}=\frac{1}{k+1} \text { . }\)
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và giả thiết quy nạp ta có
\(u_{k+1}=\frac{u_{k}}{1+u_{k}}=\frac{\frac{1}{k}}{1+\frac{1}{k}}=\frac{\frac{1}{k}}{\frac{k+1}{k}}=\frac{1}{k+1} .\)
\(\text { Vậy : }(*) \text { đúng khi } n=k+1 \text { ,suy ra }(*) \text { đúng với mọi số nguyên dương } \mathrm{n} \text { . }\)
\(u_{n}=\frac{1}{n}, \forall n \geq 1 \Rightarrow u_{100}=\frac{1}{100}\)
