Cho dãy số xác định bởi: \(\left\{\begin{array}{l} u_{1}=2 \\ u_{n}=5 u_{n-1}+6 ; n \geq 2 \end{array}\right.\). Số hạng thứ mấy trong dãy số có giá trị là 10936?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta xét } u_{n}+a=5\left(u_{n-1}+a\right) \Leftrightarrow u_{n}=5 u_{n-1}+4 a\\ &\text { Kết hợp với đề bài } \Rightarrow 4 a=6 \Leftrightarrow a=\frac{3}{2}\\ &\text { Vậy } u_{n}=5 u_{n-1}+6 \Leftrightarrow u_{n}+\frac{3}{2}=5\left(u_{n-1}+\frac{3}{2}\right)\\ &\text { Đặt } v_{n}=u_{n}+\frac{3}{2} \Rightarrow v_{1}=u_{1}+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} \text { và } v_{n}=5 v_{n-1} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Suy ra dãy số }\left(v_{n}\right) \text { là cấp số nhân có } v_{1}=\frac{7}{2}, \text { công bội } q=5\\ &\Rightarrow v_{n}=v_{1} \cdot q^{n-1} \Rightarrow v_{n}=\frac{7}{2} \cdot 5^{n-1} \Rightarrow u_{n}=v_{n}-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} \cdot 5^{n-1}-\frac{3}{2} \end{aligned}\)
Theo đề bài ta có
\(\begin{aligned} &\frac{7}{2} \cdot 5^{n-1}-\frac{3}{2}=10936 \\ &\Leftrightarrow 5^{n-1}=3225 \\ &\Leftrightarrow 5^{n-1}=5^{5} \\ &\Leftrightarrow n=6 \end{aligned}\)
