Cho dãy số xác định bởi \(\left\{\begin{array}{l} u_{1}=1 \\ u_{n+1}=u_{n}+3 n-1-2.5^{n} ; n \geq 1 \end{array}\right.\). Số hạng thứ 10 trong dãy số có giá trị là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{aligned} &u_{1}=1 \\ &u_{2}=u_{1}+3.1-1-2.5^{1} \\ &u_{3}=u_{2}+3.2-1-2.5^{2} \\ &\ldots \quad \ldots \\ &u_{n}=u_{n-1}+3 \cdot(n-1)-1-2.5^{n-1} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Cộng } n \text { đẳng thức trên theo vế suy ra }\\ &u_{n}=1+3[1+2+3+\ldots+(n-1)]-(n-1)-2\left[5^{1}+5^{2}+5^{3}+\ldots+5^{n-1}\right]\\ &\text { Trong đó } 1+2+3+\ldots+(n-1)=\frac{(n-1) n}{2} \end{aligned}\)Và tổng \(A=5^{1}+5^{2}+\ldots+5^{n-1} \text { là tổng } n-1\) số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng thứ nhất \(a_{1}=5, \text { công bội } q=5\)
\(\begin{aligned} &\Rightarrow A=S_{n-1}=a_{1} \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \Rightarrow A=5 \cdot \frac{1-5^{n-1}}{-4}=-\frac{5}{4}+\frac{5^{n}}{4} \\ &u_{n}=2-n+3 \frac{(n-1) n}{2}-2\left[-\frac{5}{4}+\frac{5^{n}}{4}\right]=\frac{1}{2}\left(3 n^{2}-5 n+9-5^{n}\right) \\ &u_{n}=\frac{1}{2}\left(3 n^{2}-5 n+9-5^{n}\right) \Rightarrow u_{10}=-4882683 \end{aligned}\)
