Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi ba số đó là x, y, z. Do ba số là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng nên ta có: x; y = x + 7d; z = x + 42d (với là công sai của cấp số cộng).
Theo giả thiết, ta có: \(x + y + z = x + x + 7d + x + 42d = 3x + 49d = 217\).
Mặt khác, do x, y, z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:
\({y^2} = xz \Leftrightarrow {\left( {x + 7d} \right)^2} = x\left( {x + 42d} \right) \Leftrightarrow d\left( { - 4x + 7d} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} d = 0\\ - 4x + 7d = 0 \end{array} \right.\)
Với d = 0, ta có: \(x = y = z = \frac{{217}}{3}\). Suy ra \(n = 820:\frac{{217}}{3} = \frac{{2460}}{{217}} \notin N\).
Với \( - 4x + 7d = 0\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 4x + 7d = 0\\ 3x + 49d = 217 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 7\\ d = 4 \end{array} \right.\). Suy ra \({u_1} = 7 - 4 = 3\).
Do đó
\(\begin{array}{l} {S_n} = 820 \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2} = 820\\ \Leftrightarrow \frac{{\left[ {2.3 + 4\left( {n - 1} \right)} \right]n}}{2} = 820\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 20\\ n = - \frac{{41}}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Vậy n = 20.
