Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho \(C_{14}^{k}, C_{14}^{k+1}, C_{14}^{k+2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của S
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \(k \in \mathbb{N}, k \leq 12\)
\(C_{14}^{k}, C_{14}^{k+1}, C_{14}^{k+2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ta có
\(\begin{aligned}
&C_{14}^{k}+C_{14}^{k+2}=2 C_{14}^{k+1} \Leftrightarrow \frac{14 !}{k !(14-k) !}+\frac{14 !}{(k+2) !(12-k) !}=2 \frac{14 !}{(k+1) !(13-k) !} \\
&\Leftrightarrow \frac{1}{(14-k)(13-k)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{2}{(k+1)(13-k)} \\
&\Leftrightarrow(14-k)(13-k)+(k+1)(k+2)=2(14-k)(k+2) \\
&\Leftrightarrow k^{2}-12 k+32=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
k=4(\mathrm{tm}) \\
k=8(\mathrm{tm})
\end{array}\right.
\end{aligned}\)
Có 4+8=12.
