Cho dãy số xác định bởi:\(\left\{\begin{array}{c} u_{1}=1 \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{1+(3 n+2) u_{n}} ; n \geq 1 \end{array}\right.\). Số hạng thứ mấy trong dãy số có giá trị là \(\frac{1}{3774}\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } u_{n+1}=\frac{u_{n}}{1+(3 n+2) u_{n}} \Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_{n}}+3 n+2 ; n \geq 1 \\ &\frac{1}{u_{1}}=1 \\ &\frac{1}{u_{2}}=\frac{1}{u_{1}}+3.1+2 \\ &\frac{1}{u_{3}}=\frac{1}{u_{2}}+3.2+2 \\ &\frac{1}{u_{4}}=\frac{1}{u_{3}}+3.3+2 \\ &\ldots \\ &\frac{1}{u_{n}}=\frac{1}{u_{n-1}}+3(n-1)+2 \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Cộng } n \text { đẳng thức trên theo vế ta được }\\ &\frac{1}{u_{n}}=1+3[1+2+\ldots+(n-1)]+2(n-1) \Rightarrow \frac{1}{u_{n}}=1+3 \frac{(n-1) n}{2}+2(n-1)=\frac{3 n^{2}+n-2}{2} \end{aligned}\)
\(\Rightarrow u_{n}=\frac{2}{3 n^{2}+n-2}\)
Theo đề bài ta có
\(\begin{aligned} &\frac{2}{3 n^{2}+n-2}=\frac{1}{3774} \\ &{\left[\begin{array}{l} n=50 \\ n=-\frac{151}{3}(l) \end{array}\right.} \end{aligned}\)
Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 50.
