Cho dãy số (un) được xác định bởi \(\left\{\begin{array}{l} u_{0}=2011 \\ u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{u_{n}^{2}} \end{array}\right.\) .Tìm \(\lim \frac{u_{n}^{3}}{n}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta thấy } u_{n}>0, \forall n\\ &\text { Ta có: } u_{n+1}^{3}=u_{n}^{3}+3+\frac{3}{u_{n}^{3}}+\frac{1}{u_{n}^{6}}\\ &\text { Suy ra: } u_{n}^{3}>u_{n-1}^{3}+3 \Rightarrow u_{n}^{3}>u_{0}^{3}+3 n \text { (2) }\\ &\text { Từ (1) và (2), suy ra: } u_{n+1}^{3}<u_{n}^{3}+3+\frac{1}{u_{0}^{3}+3 n}+\frac{1}{\left(u_{0}^{3}+3 n\right)^{2}}<u_{n}^{3}+3+\frac{1}{3 n}+\frac{1}{9 n^{2}}\\ &\text { Do đó: } u_{n}^{3}<u_{0}^{3}+3 n+\frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}+\frac{1}{9} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}\\ &\text { (3) }\\ &\text { Lai có: } \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}<1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\ldots+\frac{1}{(n-1) n}=2-\frac{1}{n}<2 \cdot \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leq \sqrt{n} \sqrt{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}}<\sqrt{2 n}\\ &\text { Nên: } u_{0}^{3}+3 n<u_{n}^{3}<u_{0}^{3}+3 n+\frac{2}{9}+\frac{\sqrt{2 n}}{3} \end{aligned}\)
\(\begin{array}{l} \text { Hay } 3+\frac{u_{0}^{3}}{n}<\frac{u_{n}^{3}}{n}<3+\frac{u_{0}^{3}}{n}+\frac{2}{9 n}+\frac{\sqrt{2}}{3 \sqrt{n}} \\ \text { Vậy } \lim \frac{u_{n}^{3}}{n}=3 \end{array}\)
