Cho dãy số (un) biết \({u_n} = \frac{{{5^n}}}{{{n^2}}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \({u_n} = \frac{{{5^n}}}{{{n^2}}} > 0,\forall n \in {N^*} \Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{{{5^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)
Xét tỉ số
\(\begin{array}{l}
\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{5^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}.\frac{{{n^2}}}{{{5^n}}} = \frac{{5{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 1}}\\
= \frac{{{n^2} + 2n + 1 + 4{n^2} - 2n - 1}}{{{n^2} + 2n + 1}}\\
= 1 + \frac{{2n\left( {n - 1} \right) + 2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 2n + 1}} > 1,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{(n - 1 \ge 0 \Rightarrow 2n\left( {n - 1} \right) \ge 0;\,\,2{n^2} - 1\, \ge 2.1 - 1 = 1}\\
{ \Rightarrow 2n\left( {n - 1} \right) + 2{n^2} - 1 > 0\,\,\,\,\,\forall n \in N*)}
\end{array}\)
Vậy n) là dãy số tăng
