Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(5 \log _{2}^{2} a+16 \log _{2}^{2} b+27 \log _{2}^{2} c=1\) . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(S=\log _{2} a \log _{2} b+\log _{2} b \log _{2} c+\log _{2} c \log _{2} a\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(x=\log _{2} a, y=\log _{2} b, z=\log _{2} c, \text { ta có } 5 x^{2}+16 y^{2}+27 z^{2}=1 \text { và } S=x y+y z+z x\)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có
\(\begin{array}{l} 11 x^{2}+22 y^{2}+33 z^{2} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{1}{11}+\frac{1}{22}+\frac{1}{33}}=6(x+y+z)^{2} \\ \Rightarrow 5 x^{2}+16 y^{2}+27 z^{2} \geq 12(x y+y z+z x) \Rightarrow S \leq \frac{1}{12} \end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất của S là \(\frac{1}{12}\)
Câu hỏi liên quan
-
Có bao nhiêu số nguyên dương thỏa mãn \(\log _{2}\left(\frac{x+1}{2}\right)+x=4^{\sin ^{4} y+\cos ^{4} y}-\sin ^{2} 2 y\)
-
Tập xác định D của hàm số \(\displaystyle y = {\log _{\frac{1}{3}}}\dfrac{{x - 4}}{{x + 4}}\) là:
-
Cho hàm số \(y=\log _{2}(2 x)\) . Khi đó, hàm số \(y=\left|\log _{2}(2 x)\right|\) có đồ thị là hình nào trong bốn hình được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây:
-
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến?
-
Tập xác định của hàm số \(y=\log _{3}\left(x^{2}-4 x+3\right)\) là:
-
Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh được cho bởi công thức \(M\left( t \right)=75-20\ln \left( t+1 \right),t\ge 0\) (đơn vị %). Hỏi sau khoảng bao lâu thì nhóm học sinh nhớ được danh sách đó dưới 10%?
-
Cho các số thực \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\)
thuộc khoảng \(\left(\frac{1}{4} ; 1\right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\log _{x_{1}}\left(x_{2}-\frac{1}{4}\right)+\log _{x_{2}}\left(x_{3}-\frac{1}{4}\right)+\ldots+\log _{x_{n}}\left(x_{1}-\frac{1}{4}\right) .\)
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y=\log _{2019}\left(4-x^{2}\right)+(2 x-3)^{-2019}\) là:
-
\(\text { Cho hàm số } f(x)=\ln 2019-\ln \left(\frac{x+2}{x}\right) \text { . Tính tổng } S=f^{\prime}(1)+f^{\prime}(3)+\ldots+f^{\prime}(2019) \text { . }\)
-
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= x+ e-x trên đoạn [-1 ;1] là:
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\log _{\sqrt{5}} \frac{1}{6-x}\)
-
Khi đèn flash của một máy ảnh tắt thì ngay lập tức nguồn điện từ pin sẽ xạc cho tụ điện của nó. Lượng điện tích trong tụ xác định bởi công thức \(Q\left( t \right) = {Q_0}\left( {1 - {e^{ - \frac{1}{t}}}} \right)\) trong đó Q0 là điện tích tối đa mà tụ có thể tích được, thời gian t tính bằng giây. Hỏi sau bao lâu thì tụ tích được 90% điện tích tối đa ?
-
. Đạo hàm của hàm số \(y=\log _{3}(4 x+1)\) là?
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=\ln \left(x^{2}-2 m x+4\right)\) có tập xác định D=R ?
-
Tập xác định của hàm số \(y=\log _{2} \frac{x+3}{2-x}\) là?
-
Cho hàm số phù hợp với bảng biến thiên sau. Phát biểu nào sau đây là đúng?
.png)
-
Cho hàm số \(f(x)=\ln \left(4 x-x^{2}\right) \cdot C\) Chọn khẳng định đúng
-
Tập xác định của hàm số \(\displaystyle y = {\log _3}\left( {{3^{x - 1}} - 9} \right)\) là:
-
Cường độ một trận động đất M được cho bởi công thức \(M=\log A-\log {{A}_{0}}\), với A là biên độ rung chấn tối đa và \({{A}_{0}}\) là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở gần đó đo được 7,1 độ Richter. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu trận động đất này.
-
Anh Bảo gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn là một quý, với lãi suất 1,85% một quý. Hỏi thời gian tối thiểu bao nhiêu để anh Bảo có được ít nhất 36 triệu đồng tính cả vỗn lẫn lãi?
