ADMICRO
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(5 \log _{2}^{2} a+16 \log _{2}^{2} b+27 \log _{2}^{2} c=1\) . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(S=\log _{2} a \log _{2} b+\log _{2} b \log _{2} c+\log _{2} c \log _{2} a\)
Chính xác
Xem lời giải
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
ZUNIA12
Lời giải:
Báo saiĐặt \(x=\log _{2} a, y=\log _{2} b, z=\log _{2} c, \text { ta có } 5 x^{2}+16 y^{2}+27 z^{2}=1 \text { và } S=x y+y z+z x\)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức ta có
\(\begin{array}{l} 11 x^{2}+22 y^{2}+33 z^{2} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{1}{11}+\frac{1}{22}+\frac{1}{33}}=6(x+y+z)^{2} \\ \Rightarrow 5 x^{2}+16 y^{2}+27 z^{2} \geq 12(x y+y z+z x) \Rightarrow S \leq \frac{1}{12} \end{array}\)
Vậy giá trị lớn nhất của S là \(\frac{1}{12}\)
ZUNIA9
AANETWORK