Với các số thực dương x, y, z đôi một phân biệt thỏa mãn \(x, y, z \neq 1 \text { và } x y z=1\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\log _{x} \frac{y}{z}+\log _{y} \frac{z}{x}+\log _{z} \frac{x}{y}+2\left(\log _{\frac{x}{y}} z+\log _{\frac{y}{z}} x+\log _{\frac{z}{x}} y\right)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\text { Ta có: } P=\log _{x} \frac{y}{z}+\log _{y} \frac{z}{x}+\log _{z} \frac{x}{y}+2\left(\log _{\frac{x}{y}} z+\log _{\frac{y}{z}} x+\log _{\frac{z}{x}} y\right)\)
\(\text { Suy ra } P=\log _{x} \frac{y}{z}+\log _{y} \frac{z}{x}+\log _{z} \frac{x}{y}+2\left(\frac{1}{\log _{z} \frac{x}{y}}+\frac{1}{\log _{x} \frac{y}{z}}+\frac{1}{\log _{y} \frac{z}{x}}\right)\)
\(\begin{aligned} &\text { Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: }\\ &\log _{x} \frac{y}{z}+\frac{2}{\log _{x} \frac{y}{z}} \geq 2 \sqrt{2} ; \log _{y} \frac{z}{x}+\frac{2}{\log _{y} \frac{z}{x}} \geq 2 \sqrt{2} ; \log _{z} \frac{x}{y}+\frac{2}{\log _{z} \frac{x}{y}} \geq 2 \sqrt{2} \end{aligned}\)
\(\text { Suy ra } P \geq 6 \sqrt{2} \text { . Vậy } P_{\min }=6 \sqrt{2} \text { . }\)
