Cho các số phức z thoả mãn \(|z|=2\). Đặt \(w=(1+2 i) z-1+2 i\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của |w|
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi số phức \(z=a+b i \text { với } a, b \in \mathbb{R}\) .
Ta có \(|z|=2 \Leftrightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}=2 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=4(*)\) .
Mà số phức \(w=(1+2 i) z-1+2 i\)
\(\Leftrightarrow w=(1+2 i)(a+b i)-1+2 i \Leftrightarrow w=(a-2 b-1)+(2 a+b+2) i\)
Giả sử số phức \(w=x+y i(x, y \in \mathbb{R})\)
Khi đó \(\left\{\begin{array}{l} x=a-2 b-1 \\ y=2 a+b+2 \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x+1=a-2 b \\ y-2=2 a+b \end{array}\right.\right.\)
Ta có \((x+1)^{2}+(y-2)^{2}=(a-2 b)^{2}+(2 a+b)^{2}\)
\(\Leftrightarrow(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=a^{2}+4 b^{2}-4 a b+4 a^{2}+b^{2}+4 a b\)
\(\Leftrightarrow(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=5\left(a^{2}+b^{2}\right) \Leftrightarrow(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=20\)(theo (*))
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I (-1;2) bán kính \(R=\sqrt{20}=2 \sqrt{5}\) .
Điểm M là điểm biểu diễn của số phức w thì \(|w|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi OM nhỏ nhất.
Ta có \(O I=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}, I M=R=2 \sqrt{5}\) . Mặt khác \(O M \geq|O I-I M| \quad \Leftrightarrow O M \geq|\sqrt{5}-2 \sqrt{5}| \Leftrightarrow O M \geq \sqrt{5}\) Do vậy |w| nhỏ nhất bằng \(\sqrt{5}\)
