Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn điều kiện \(z \bar{z}=1 \text { và }|z-\sqrt{3}+i|=m\) . Tìm số phần tử của S .
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(z=x+y i(x ; y \in \mathbb{R})\)
\(z \bar{z}=1 \longrightarrow x^{2}+y^{2}=1 \cdot\left(C_{1}\right)\)
Suy ra z thuộc \(\text { đường tròn }\left(C_{1}\right) \text { tâm } I_{1}(0 ; 0) \text { , bán kính } R_{1}=1 \text { . }\)
\(|z-\sqrt{3}+i|=m \longrightarrow|x-\sqrt{3}+y i+i|=m \Leftrightarrow(x-\sqrt{3})^{2}+(y+1)^{2}=m^{2} .\left(C_{2}\right)\)
Suy ra z thuộc đường tròn \(\left(C_{2}\right) \text { tâm } I_{2}(\sqrt{3} ;-1), \text { bán kính } R_{2}=m(m>0) \text { . }\)
Để tồn tại duy nhất một số phức z thì \(\left(C_{1}\right)\)tiếp xúc với \(\left(C_{2}\right)\) .
TH1:\(\left(C_{1}\right) \text { và }\left(C_{2}\right)\) tiếp xúc ngoài, ta được \(I_{1} I_{2}=R_{1}+R_{2} \Leftrightarrow 2=m+1 \Leftrightarrow m=1 \text { (thỏa). }\)(thỏa).
TH2: \(\left(C_{1}\right) \text { và }\left(C_{2}\right)\) tiếp xúc trong, ta được
\(I_{1} I_{2}=\left|R_{1}-R_{2}\right| \Leftrightarrow 2=|m-1| \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} m=3 \\ m=-1 \text { (loại) } \end{array}\right.\)
