Cho các số nguyên dương p ≤ n. Thu gọn C1n+2⋅C2nC1n+3⋅C3nC2n+⋯+p⋅CpnCp−1n+⋯+n⋅CnnCn−1nC1n+2⋅C2nC1n+3⋅C3nC2n+⋯+p⋅CpnCp−1n+⋯+n⋅CnnCn−1n ta được
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
C1n=n;2⋅C2nC1n=2⋅n!2!(n−2)!n=n!(n−2)!n=n−1;C1n=n;2⋅C2nC1n=2⋅n!2!(n−2)!n=n!(n−2)!n=n−1;
3⋅C3nC2n=3⋅n!3!(n−3)!n!2!(n−2)!=(n−2)!(n−3)!=n−23⋅C3nC2n=3⋅n!3!(n−3)!n!2!(n−2)!=(n−2)!(n−3)!=n−2
....
p⋅CpnCp−1n=p⋅n!p!(n−p)!n!(p−1)!(n−p+1)!=p⋅(p−1)!(n−p+1)!p!(n−p)!=p⋅n−p+1p=n−p+1;p⋅CpnCp−1n=p⋅n!p!(n−p)!n!(p−1)!(n−p+1)!=p⋅(p−1)!(n−p+1)!p!(n−p)!=p⋅n−p+1p=n−p+1;
n⋅CnnCn−1n=n⋅1n!1!(n−1)!=1n⋅CnnCn−1n=n⋅1n!1!(n−1)!=1
Do đó C1n+2⋅C2nC1n+3⋅C3nC2n+⋯+p⋅CpnCp−1n+⋯+n⋅CnnCn−1n=n+(n−1)+(n−2)+⋯+(n−p+1)+⋯+1=n(n+1)2C1n+2⋅C2nC1n+3⋅C3nC2n+⋯+p⋅CpnCp−1n+⋯+n⋅CnnCn−1n=n+(n−1)+(n−2)+⋯+(n−p+1)+⋯+1=n(n+1)2
