Cho tập A={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.Từ các phần tử của tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó hai số chẵn không thể đứng cạnh nhau?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử số có 6 chữ số thỏa đề bài có dạng \( M = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \)
Nhận xét : Trong các vị trí \( {a_1},{\mkern 1mu} {a_2},{\mkern 1mu} {a_3},{\mkern 1mu} {a_4},{\mkern 1mu} {a_5},{\mkern 1mu} {a_6}\) có tối đa 3 chữ số là số chẵn được lấy từ tập A.
TH1: Số M chỉ chứa 1 chữ số chẵn.
+) a1 chẵn : a1 có 4 cách chọn
Các vị trí \({a_2},{\mkern 1mu} {a_3},{\mkern 1mu} {a_4},{\mkern 1mu} {a_5},{\mkern 1mu} {a_6}\) là số lẻ nên có 5! cách xếp
Trường hợp này có : 4.5!=480 cách chọn.
+) a1 lẻ : a1 có 5 cách chọn
Chọn một chữ số chẵn và 4 chữ số lẻ và xếp chúng ở 5 vị trí \(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\) có \( C_5^1C_4^45!\) cách
Trường hợp này có : \( 5C_5^1C_4^45! = 3000\) cách chọn.
TH2: Số M có chứa 2 chữ số chẵn .
+) a1 chẵn : a1 có 4 cách chọn
Vị trí a2 là số lẻ nên a2 có 5 cách chọn .
Chọn một chữ số chẵn và 3 số lẻ và xếp chúng vào 4 vị trí còn lại có \( C_4^1C_4^34!\) cách
Trường hợp này có : \( 4.5.C_4^1C_4^34! = 7680\)cách chọn.
+) a1a1lẻ : a1a1 có 5 cách chọn
Ở các vị trí \( a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\) có 3 chữ số lẻ , ta tạo được 4 vách ngăn , chọn hai chữ số chẵn và đặt vào 2 trong 4 vách ngăn đó.
Chọn 3 chữ số lẻ trong 4 số lẻ đặt ở 3 vị trí còn lại, vậy có \( C_5^2C_4^2C_4^32!3!\) cách.
Trường hợp này này có \( 5C_5^2C_4^2C_4^32!3! = 14400\) cách
TH3: Số M có chứa 3 chữ số chẵn.
+) a1 chẵn : a1 có 4 cách chọn.
Vị trí a2 lẻ nên a2 có 5 cách chọn.
Ở các vị trí \(a_3,a_4,a_5,a_6\) có 2 chữ số lẻ , ta tạo được 3 vách ngăn .Chọn hai chữ số chẵn và đặt vào 2 trong 3 vách ngăn đó,chọn 2 chữ số lẻ trong 4 số lẻ đặt ở 2 vị trí còn lại có \( C_4^22!C_4^2C_3^22!\) cách.
Trường hợp này có: \( 4.5C_4^22!C_4^2C_3^22! = 8640\) cách chọn.
+) a1 lẻ : a1 có 5 cách chọn
Ở các vị trí \(a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\) có 2 chữ số lẻ , ta tạo được 3 vách ngăn.
Chọn ba chữ số chẵn và đặt vào 3 vách ngăn đó,chọn 2 chữ số lẻ trong 4 số lẻ đặt ở 2 vị trí còn lại có \( C_5^33!C_4^22!\) cách.
Trường hợp này có \( 5C_4^23!C_5^32! = 3600\) cách chọn.
Vậy có : 480+3000+7680+14400+8640+3600=37800 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
Chọn C
