Cho các số nguyên dương a,b lớn hơn 1. Biết phương trình \({{a}^{{{x}^{2}}+1}}={{b}^{x}}\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) và phương trình \({{b}^{{{x}^{2}}-1}}={{\left( 9a \right)}^{x}}\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{3}},{{x}_{4}}\) thỏa mãn \(\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{3}}+{{x}_{4}} \right)<3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=3a+2b\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới \({{a}^{{{x}^{2}}+1}}={{b}^{x}}\), lấy logarit cơ số a hai vế ta được:
\({{x}^{2}}+1=x{{\log }_{a}}b\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x{{\log }_{a}}b+1=0\).
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt, khi đó
\(\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }={{\left( {{\log }_{a}}b \right)}^{2}}-4>0\Leftrightarrow {{\log }_{a}}b>2\Leftrightarrow b>{{a}^{2}}\).
Tương tự \({{b}^{{{x}^{2}}-1}}={{\left( 9a \right)}^{x}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=x{{\log }_{b}}\left( 9a \right)\Rightarrow \text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }={{\left( {{\log }_{b}}\left( 9a \right) \right)}^{2}}+4>0\).
Khi đó theo Vi-ét ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1} + {x_2} = {{\log }_a}b}\\ {{x_3} + {x_4} = {{\log }_b}\left( {9a} \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow {\log _a}b{\log _b}\left( {9a} \right) < 3 \Leftrightarrow {\log _a}\left( {9a} \right) < 3 \Leftrightarrow 9a < {a^3} \Rightarrow a \ge 4\).
Vì vậy \(b>16\Rightarrow S>3.4+2.17=46\).
