Cho các số dương a, b, c khác 1 thỏa mãn \(\log _{a}(b c)=2, \log _{b}(c a)=4\). Tính giá trị của biểu thức \(\log _{c}(a b)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \log _{a}(b c)=2 \Leftrightarrow b c=a^{2} \\ \log _{b}(c a)=4 \Leftrightarrow a c=b^{4} \end{array}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{bc}}{{ac}} = \frac{{{a^2}}}{{{b^4}}} \Leftrightarrow {a^3} = {b^5} \Leftrightarrow b = {a^{\frac{3}{5}}}\\ ab{c^2} = {a^2}{b^4} \Leftrightarrow {c^2} = a{b^3} \Leftrightarrow c = {\left( {a{b^3}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {\left( {a \cdot {a^{\frac{9}{5}}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{5}}} \end{array} \right.(\operatorname{do} a, b, c>0)\)
\(\log _{c}(a b)=\log _{\left(a^{3}\right)^{\frac{1}{2}}}(a b)=\log _{a^{\frac{7}{3}}}\left(a \cdot a^{\frac{3}{5}}\right)=\log _{a^{\frac{7}{3}}}\left(a^{\frac{8}{5}}\right)=\frac{8}{7}\)
