Biết phương trình \( x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \) (a,b,c,d thuộc R) nhận \(z_1 = - 1 + i ;z_2 = 1 + \sqrt 2 i \) là nghiệm. Tính a + b + c + d .
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiNhận xét: Phương trình đã cho nhận z1,z2 làm nghiệm thì cũng nhận \(\bar {z_1};\bar {z_2}\) làm nghiệm.
Khi đó
\(\begin{array}{l} {z_1} = - 1 + i \Rightarrow \overline {{z_1}} = - 1 - i \Rightarrow m = {z_1} + \overline {{z_1}} = - 2,n = {z_1}\overline {{z_1}} = 2\\ {z_2} = 1 + \sqrt 2 i \Rightarrow \overline {{z_2}} = 1 - \sqrt 2 i \Rightarrow p = {z_2} + \overline {{z_2}} = 2,q = {z_2}\overline {{z_2}} = 3 \end{array}\)
Vậy phương trình đã cho tương đương
\(\begin{array}{l} \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + 2x + 6 = 0\\ \to a = 0,b = 1,c = 2,d = 6 \Rightarrow a + b + c + d = 0 + 1 + 2 + 6 = 9 \end{array}\)
