\(\text { Nếu } y=\sin \frac{x}{2} \text { thì } y^{(n)}=\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
\(\text { Chứng minh bằng quy nạp } y^{(n)}=\frac{1}{2^{n}} \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{n \pi}{2}\right)\)
\(\text { Với } n=1 \text { ta có } y^{\prime}=\left(\sin \frac{x}{2}\right)^{\prime}=\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\)
\(\text { Giả sử }(1) \text { đúng với } n=k, \quad k \in \mathbb{N}^{*} \text { tức là ta có } y^{(k)}=\frac{1}{2^{k}} \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{k \pi}{2}\right)(1)\)
\(\text { Chứng minh (1) đúng với } n=k+1 \text { tức là cần chứng minh } y^{(k+1)}=\frac{1}{2^{k+1}} \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{(k+1) \pi}{2}\right)(2)\)
Thật vậy ta có:
\(\begin{array}{l} y^{(k+1)}=\left(y^{(k)}\right)^{\prime}=\left(\frac{1}{2^{k}} \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{k \pi}{2}\right)\right)^{\prime}=\frac{1}{2^{k}} \cdot \frac{1}{2} \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{k \pi}{2}\right) \\ =\frac{1}{2^{k+1}} \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{k \pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2^{k+1}} \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{(k+1) \pi}{2}\right) \end{array}\)
