\(\text { Cho biết } \cos \alpha+\sin \alpha=\frac{1}{3} \text {. Giá trị của } P=\sqrt{\tan ^{2} \alpha+\cot ^{2} \alpha} \text { bằng bao nhiêu? }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } \cos \alpha+\sin \alpha=\frac{1}{3} \rightarrow(\cos \alpha+\sin \alpha)^{2}=\frac{1}{9} \\ &\Leftrightarrow 1+2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{9} \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha=-\frac{4}{9} . \\ &\text { Ta có } P=\sqrt{\tan ^{2} \alpha+\cot ^{2} \alpha}=\sqrt{(\tan \alpha+\cot \alpha)^{2}-2 \tan \alpha \cot \alpha}=\sqrt{\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)^{2}-2} \\ &=\sqrt{\left(\frac{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\right)^{2}-2}=\sqrt{\left(\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}\right)^{2}-2}=\sqrt{\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}-2}=\frac{7}{4} . \end{aligned}\)
