Đề thi thử Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2025 - Đề 1 - Đề 1
50 câu hỏi 60 phút
Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng \(d:\left\{\begin{array}{l}x=-4 t+1 \\ y=-2+3 t\end{array}\right.\). Một vectơ chỉ phương của \(d\) là:
\((1 ; 3)\)
\((-4 ; 2)\)
\((4 ;-3)\)
\((-1 ; 3)\)
Phương pháp giải
Phương trình \(d:\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+a t y=y_{0}+b t\end{array}\right.\) nhận \(\vec{u}=(a ; b)\) làm vectơ chỉ phương.
Lời giải
Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \((-4 ; 3)\) hay \((4 ;-3)\).
Danh sách câu hỏi:
Phương pháp giải
Phương trình \(d:\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+a t y=y_{0}+b t\end{array}\right.\) nhận \(\vec{u}=(a ; b)\) làm vectơ chỉ phương.
Lời giải
Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \((-4 ; 3)\) hay \((4 ;-3)\).
8
Phương pháp giải
Tìm tọa độ chân cổng. Từ đó ta có chiều cao cổng bằng trị tuyệt đối trung độ chân cổng.
Lời giải
Khoảng cách từ chân cổng đến trục đối xứng Oy là \(\frac{8}{2}=4\). Hoành độ hai chân cổng là \(-4 ; 4\)
Tung độ chân cổng là: \(y=-\frac{1}{2} \cdot 4^{2}=-8\)
Vậy chiều cao của cổng là \(|-8|=8\) mét.
Phương pháp giải
Để hàm số \(f(x) \leq 0\) vô nghiệm thì \(f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}\).
Sử dụng ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai:
\(a x^{2}+b x+c>0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ \Delta<0\end{array}\right.\)
Lời giải
Để bất phương trình \(x^{2}-(m+2) x+8 m+1 \leq 0\) vô nghiệm thì \(x^{2}-(m+2) x+8 m+1>0, \forall x \in \mathbb{R}\).
\(\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1>0 \\\Delta=(m+2)^{2}-4(8 m+1)<0\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow m^{2}+4 m+4-32 m-4<0\)
\(\Leftrightarrow m^{2}-28 m<0\)
\(\Leftrightarrow 0<m<28\).
Câu 4:
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế sao mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi là
Phương pháp giải
Sử dụng hoán vị.
Hoán vị
Lời giải
Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: \(5!=120\) (cách).
Phương pháp giải
Đặt \(v_{n}=u_{n}^{2}+1\). Chứng minh \(v_{n}\) là một cấp số nhân.
Từ đó tìm công thức tổng quát của \(u_{n}^{2}\).
Tính \(S\) bằng cách sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.
Sử dụng ứng dụng của logarit để tìm số chữ số của \(S\).
Lời giải
Ta có: \(u_{n+1}=\sqrt{3 u_{n}^{2}+2} \Leftrightarrow u_{n+1}^{2}=3 u_{n}^{2}+2 \Leftrightarrow u_{n+1}^{2}+1=3\left(u_{n}^{2}+1\right)\).
Đặt \(v_{n}=u_{n}^{2}+1 \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}v_{1}=2 . v_{n+1}=3 v_{n}\end{array}\right.\).
Do \(\left(v_{n}\right)\) là cấp số nhân có \(v_{1}=2\) công bội \(q=3\) nên \(v_{n}=2.3^{n-1}\).
\(\Rightarrow u_{n}^{2}=2.3^{n-1}-1\).
Khi đó: \(S=2 .\left(1+3^{1}+3^{2}+\ldots+3^{2022}\right)=3^{2023}-1\).
Ta có: \(S+1=3^{2023}\) có \(\left[\log 3^{2023}\right]+1=966\) (chữ số).
Do đó \(S\) có 966 hoặc 965 chữ số.
\(S\) có 965 chữ số khi \(S+1=10^{965} \Leftrightarrow 3^{2023}=10^{965}\) (vô lý do \(3^{2023}\) là số lẻ còn \(10^{965}\) là số chẵn)
Vậy số chữ số của \(S=966\) (chữ số).
Câu 27:
Cho hàm số \(y=\sqrt{2 x-x^{2}}\). Biết hàm số nghịch biến trên đoạn \((a ; b)\(, Tính \(a+2 b\)
