Đề thi minh họa Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2025 - Đề 1
50 câu hỏi 60 phút
Một viên đạn pháo được bắn từ mặt đất với vận tốc \({{v}_{0}}\) hợp với phương ngang một góc \(\theta \) (đơn vị: độ, \({{0}^{{}^\circ }}<\theta <{{45}^{{}^\circ }}\) ) và tầm bắn được mô hình hóa bởi hàm số \(\text{R}(\theta )=\frac{v_{0}^{2}\cdot \sin (2\theta )}{g}(~\text{m})\), trong đó \(g\) là gia tốc trọng trường lấy xấp xỉ bằng \(9,8~\text{m}/{{\text{s}}^{2}}\). Với \({{v}_{0}}=500~\text{m}/\text{s}\), tính \(\theta \) để viên đạn trúng mục tiêu trên mặt đất phẳng cách đó 19500 m (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị):
25
Phương pháp giải
Thay các giá trị \(R(\theta ),{{v}_{0}},g\) vào hàm số để tính \(\theta \).
Lời giải
Góc \(\theta \) để viên đạn trúng mục tiêu trên mặt đất phẳng cách đó 19500 m là:
\(\begin{array}{*{35}{l}} {} & 19500 & =\frac{{{500}^{2}}\cdot \sin (2\theta )}{9,8} \\ \Rightarrow & \sin (2\theta ) & =19500:\frac{{{500}^{2}}}{9,8}=\frac{1911}{2500} \\ \Rightarrow & 2\theta & \approx {{50}^{\circ }} \\ \Rightarrow & \theta & \approx {{25}^{\circ }}. \\\end{array}\)
Danh sách câu hỏi:
25
Phương pháp giải
Thay các giá trị \(R(\theta ),{{v}_{0}},g\) vào hàm số để tính \(\theta \).
Lời giải
Góc \(\theta \) để viên đạn trúng mục tiêu trên mặt đất phẳng cách đó 19500 m là:
\(\begin{array}{*{35}{l}} {} & 19500 & =\frac{{{500}^{2}}\cdot \sin (2\theta )}{9,8} \\ \Rightarrow & \sin (2\theta ) & =19500:\frac{{{500}^{2}}}{9,8}=\frac{1911}{2500} \\ \Rightarrow & 2\theta & \approx {{50}^{\circ }} \\ \Rightarrow & \theta & \approx {{25}^{\circ }}. \\\end{array}\)
Phương pháp giải
\(f(x)\le 0,\forall x\).
Lời giải
\(f(x)=m{{x}^{2}}-2mx+2m-1\).
+) Với \(m=0\Rightarrow (1)\Leftrightarrow -1\le 0\) (luôn đúng).
+) Với \(m\ne 0\) thì (1) là phương trình bậc hai.
Để \(f(x)\le 0\forall x\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{*{35}{l}} m<0 \\ {{\Delta }^{\prime }}\le 0 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m<0 \\ {{m}^{2}}-m(2m-1)\le 0 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} m<0 \\ \left[ \begin{array}{*{35}{l}} m\ge 1 \\ m\le 0 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right. \right. \right.\Leftrightarrow m<0.\)
Vậy \(m\le 0\).
Kết hợp \(m\in [-10;10]\Rightarrow m\in \{-10,-9,\ldots ,0\}\Rightarrow \) Có 11 giá trị.
5575
Phương pháp giải
Tính tổng số tiền lương mà người nhân viên nhận được cho đến khi đạt mức tối đa là 320 triệu đồng/năm theo công thức tính tổng của cấp số cộng: \(S=\frac{n\left( {{x}_{1}}+{{x}_{n}} \right)}{2}\).
Tổng số tiền lương người đó nhận được trong 20 năm bằng tổng số tiền người đó nhận được cho đến khi đạt mức tối đa là 320 triệu đồng và số tiền của những tháng đạt 320 triệu đồng.
Lời giải
Mức lương cho năm đầu của nhân viên đó là 170 triệu đồng và mỗi năm tiếp theo, nhân viên được tăng thêm 15 triệu đồng cho đến khi đạt mức tối đa là 320 triệu đồng/năm.
Khi đó số tiền lương nhân viên này nhận được trong mỗi năm tiếp theo cho đến khi đạt mức tối đa 320 triệu đồng/năm là một cấp số cộng có \({{x}_{1}}=170,d=15\).
Năm mà tiền lương nhân viên này nhận được 320 triệu đồng là:
\(170+15.(n-1)=320\Rightarrow n-1=\frac{320-170}{15}=10\Rightarrow n=11\).
Năm thứ 11 thì người đó đạt được 320 triệu đồng.
Khi đó 20-11 = 9 năm sau, người đó nhận được 320 triệu đồng/năm.
Vậy tổng số tiền lương mà người nhân viên nhận được trong 20 năm đầu là:
\(\frac{11(320-170)}{2}+320.9=5575\) (triệu đồng).
5
Vì \({{u}_{1}}\) chẵn và trong dãy có số hạng lè nên \(d\) lẻ.
Trường hợp 1: Dãy số có lẻ số hạng.
Gọi dãy số tổng quát là: \({{u}_{1}};{{u}_{2}};\ldots ;{{u}_{2n}};{{u}_{2n+1}}\).
\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}+{{u}_{3}}+\ldots +{{u}_{2n+1}}=44 \\ {{u}_{2}}+{{u}_{4}}+\ldots +{{u}_{2n}}=33 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{2n+1}} \right)\cdot (n+1)}{2}=44 \\ \frac{\left( {{u}_{2}}+{{u}_{2n}} \right)\cdot n}{2}=33 \\\end{array} \right. \right.\).
Mà \({{u}_{1}}+{{u}_{2n+1}}={{u}_{1}}+{{u}_{2n}}+d={{u}_{2}}+{{u}_{2n}}\) nên \(\frac{n+1}{n}=\frac{44}{3}\Rightarrow n=3\).
\(\Rightarrow {{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}+{{u}_{5}}+{{u}_{6}}+{{u}_{7}}=77\) \(\Leftrightarrow 7{{u}_{4}}=77\Leftrightarrow {{u}_{4}}=11\).
+) Với \(d>0\):
Ta có: \({{u}_{4}}={{u}_{1}}+3d=11\Leftrightarrow 3d=11-{{u}_{1}}\).
Do \({{u}_{1}}\ge 2\Rightarrow 3d\le 11-2\Leftrightarrow 3d\le 9\Leftrightarrow d\le 3\).
Mà \(d\) lẻ nên \(d=\{1;3\}\).
+) Với \(d<0\):
Ta có: \({{u}_{4}}={{u}_{7}}-3d=11\Leftrightarrow {{u}_{7}}=3d+11\).
Do \({{u}_{7}}>0\Rightarrow 3d+11>0\Leftrightarrow d>-\frac{11}{3}\). \(\Rightarrow -\frac{11}{3}<d<0\).
Mà \(d\) lẻ nên \(d=\{-3;-1\}\).
Trường hợp 2: Dãy số có chẵn số hạng.
Gọi dãy số tổng quát là: \({{u}_{1}};{{u}_{2}};\ldots ;{{u}_{2n-1}};{{u}_{2n}}\).
Do đó, để tổng số hạng có giá trị chẵn lớn hơn tổng số hạng có giá trị lẻ thì \(d<0\).
\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{1}}+{{u}_{3}}+\ldots +{{u}_{2n-1}}=44 \\ {{u}_{2}}+{{u}_{4}}+\ldots +{{u}_{2n}}=33 \\\end{array}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{\left( {{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}} \right)\cdot n}{2}=44 \\ \frac{\left( {{u}_{2}}+{{u}_{2n}} \right)\cdot n}{2}=33 \\\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \frac{{{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}}}{2}=\frac{44}{n} \\ \frac{{{u}_{2}}+{{u}_{2n}}}{2}=\frac{33}{n} \\\end{array} \right. \right. \right.\)
Mà \({{u}_{2}}+{{u}_{2n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2n-1}}+2d\) nên \(\frac{33}{n}=\frac{44}{n}+d\Leftrightarrow nd=-11\).
Do \(n\) là số tự nhiên và \(d\) lẻ nên \(\left[ \begin{array}{*{35}{l}} n=11;d=-1 \\ n=1;d=-11 \\\end{array} \right.\).
Với \(n=11\); \(d=-1\) thì
\(\frac{{{u}_{1}}+{{u}_{21}}}{2}=\frac{44}{11}\Leftrightarrow \frac{2{{u}_{1}}+20d}{2}=4\Leftrightarrow {{u}_{1}}=14\Rightarrow {{u}_{21}}=-6\).
Do các số hạng của cấp số cộng là số tự nhiên nên trường hợp này không thoả mãn.
Với \(n=1\); \(d=-11\) cấp số cộng có hai số hạng là \({{u}_{1}}=44\); \({{u}_{2}}=33\).
Vậy có 5 cấp số cộng thoả mãn yêu cầu bài toán.
Phương pháp giải
Tìm giới hạn của hàm số tại vô cực.
Lời giải
Vì số lượng cá thể của quần thể đạt đến trạng thái cân bằng khi thời gian đủ dài nên số cá thể của quần thể khi đó là:
\(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,N(t)=\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{16398{{e}^{0,5(t-9,19)}}}{0,12+{{e}^{0,5(t-9,19)}}}=16398\).
